在民事诉讼中，原告当庭增加诉讼请求的处理方式通常如下：

**合并审理** ：

- 如果增加的诉讼请求与原诉讼请求基于相同的事实和理由，或有牵连关系，法院可能会合并审理，以便一次性解决纠纷，提高司法效率。

**告知另行起诉** ：

- 如果增加诉讼请求导致案件性质发生改变，或者与原诉讼请求缺乏必要的联系，法院可能会告知原告另行起诉。例如，原诉讼请求为合同违约赔偿，增加的诉讼请求为侵权损害赔偿，由于法律关系和证明标准有较大差异，法院可能要求另行起诉。

**驳回请求** ：

- 如果增加的诉讼请求超过了法定的举证期限，根据民事证据规定，法官通常不会受理，并应告知原告另行起诉。

**二审程序中的处理** ：

- 在二审程序中，如果原告增加独立的诉讼请求，法院可以根据当事人自愿的原则进行调解。如果调解不成，法院应告知当事人另行起诉。

**提出时机** ：

- 原告增加诉讼请求时，一般应向审理本案的审判长提出，并且应在举证期限届满前提出，以便法院有足够的时间进行审查和处理。

需要注意的是，法院在处理原告当庭增加的诉讼请求时，会综合考虑案件的性质、增加诉讼请求的内容及其与原诉讼请求的关系等因素，并依据相关法律规定和司法解释作出决定。